Szacsvay László 1947. október 27-én született Budapesten. A Színház- és Filmművészeti Főiskolát 1971-ben végezte el. Diplomáját kézhez véve a Nemzeti Színházhoz szerződött, 1982-ben csatlakozott a Katona József Színház társulatához.
A sokoldalú színész anyaszínházának olyan nagy sikerű előadásaiban lépett színpadra, mint Csehov A három nővér, Shakespeare Ahogy tetszik, Julius Caesar, A vihar, Szeget szeggel, Jarry Übü király, Ibsen A vadkacsa, Spiró György Koccanás, Euripidész Médeia, Gorkij Barbárok, Weöres Sándor A kétfejű fenevad című darabja vagy a Mi ez a hang? (Dzsesztetés) című előadás, amelyben a társulat színészei a megszokottól eltérően elsősorban zenélnek és énekelnek. (A színész hegedűn és zongorán is játszik, zenei tudását több darabban is megcsillogtatta.) Éveken át sikert aratott a Budapest Orfeum című zenés összeállításban - Császár Angelával és Benedek Miklóssal - előadott kupléival és sanzonjaival.
A jelenleg repertoáron lévő darabok közül szerepel Tersánszky Józsi Jenő-Grecsó Krisztián a Cigányok, Slobodzianek A mi osztályunk, Kerékgyártó István Rükverc, Peter Weiss M/S című drámájában, valamint a kivándorlásról szóló Illaberekben. 2013-ban a Sufniban Pianínó címmel mutatták be Szép Ernő-estjét. Több Bozsik Yvette táncművész által koreografált előadásban is fellépett.
Gyakran szerepel más színházak produkcióiban, így például a Ruttkai Éva Színházban, a Turay Ida Színházban, a Karinthy Színházban és a Belváros Színház jelenleg is futó A nagy négyes című darabjában.
Több mint negyven filmben játszott, olyan nagysikerű mozi- és tévéfilmekben kapott szerepet, mint a Nem élhetek muzsikaszó nélkül (1978), a Szívzűr (1981), a Nyom nélkül (1982), a Te rongyos élet (1983), a Csapd le csacsi (1991), a Megint tanú (1994), a Presszó (1997), a Zimmer Feri (1997), a Kalózok (1998), a Hippolyt (1999) a Perlasca - Egy igaz ember története (2002), az S.O.S. Szerelem (2006), a De kik azok a Lumnitzer nővérek? (2006), a Casting minden (2007), a Tüskevár című családi film (2012) vagy a világhírű magyar mentőkutya történetét bemutató Mancs (2014) című alkotások. Állandó szereplője volt olyan népszerű tévésorozatoknak, mint a Szomszédok vagy az Életképek (utóbbiban kutyájával, Báróval tűnt fel hetente a képernyőn).
Hangját olyan kedvelt rajzfilmfiguráknak kölcsönözte, mint a Micimackó Nyuszija vagy a Macskafogó 2 Harvey-ja. Több hangoskönyve is megjelent, szívesen olvasta fel Gerald Durrell Állati történeteit vagy T.J. Wodehouse írásait. Egyik legutóbbi szerepét az idén bemutatott Kossuthkifli című televíziós roadmovie-ban alakította.
A kiváló karakterszínészt 1978-ban Jászai Mari-díjjal tüntették ki. 2001-ben érdemes művész, 2013-ban kiváló művész lett. Megkapta a Katona József Színház PUKK-díját. 2014-ben a nyíregyházi Vidor Fesztiválon átvette a szakmai zsűri által odaítélt életműdíjat.